Теория вычислимости — это область теоретической информатики и математики, которая изучает, можно ли решить различные математические задачи с помощью алгоритмических процессов. Она тесно связана с областью теории рекурсивных функций. Он также тесно связан с изучением вычислимых функций, таких как те, которые изучаются в теории вычислимости и тесно связанных областях вычислимого анализа и машин Тьюринга, и его основная цель — обнаружить степень, в которой данная проблема разрешима «в принципе». ' данной вычислительной системой или любой вычислительной системой.
Теория вычислимости занимается описанием абстрактных концепций алгоритмических вычислений, в частности математических функций, участвующих в этих вычислениях, и логических операций, которые ими управляют. Это также тесно связано с теорией сложности и компьютерной алгеброй. Теорию вычислимости можно рассматривать как исследование ограничений алгоритмических подходов к решению алгебраических задач, в отличие от традиционного абстрактного алгебраического подхода.
В основе теории вычислимости лежит вопрос о том, можно ли вычислить математическую функцию, например полиномиальное уравнение, за конечное время. Чтобы ответить на этот вопрос, теоретики вычислимости используют определения вычислимости, называемые тезисом Чёрча-Тьюринга, теоремой рекурсии или универсальной машиной Тьюринга. Эти идеи определяют, что можно и что нельзя вычислить в данной системе, и могут использоваться в качестве основы для доказательства некоторых теорем о вычислимости.
Теория вычислимости также предоставляет методы построения алгоритмов, которые решают определенные проблемы наиболее эффективным способом, таких как алгоритм Кнута-Бендикса, алгоритм Маркова и алгоритм Ривеста-Шамира-Адлемана. Эти алгоритмы обычно используются для решения задач криптографии и линейного программирования.
Помимо своих теоретических приложений, теория вычислимости оказала большое влияние на развитие современного компьютера, а также на другие области техники и науки. Он используется при проектировании компьютерных систем, а также при разработке систем искусственного интеллекта и машинного обучения. Он также используется математиками в доказательстве теорем и при разработке языков программирования.
