La théorie de la calculabilité est un domaine de l'informatique théorique et des mathématiques qui étudie si divers problèmes mathématiques peuvent être résolus à l'aide de processus algorithmiques. Il est étroitement lié au domaine de la théorie des fonctions récursives. Il est également étroitement associé à l'étude des fonctions calculables, telles que celles étudiées dans la théorie de la calculabilité et dans les domaines étroitement liés de l'analyse calculable et des machines de Turing, et son objectif principal est de découvrir dans quelle mesure un problème donné peut être résolu « en principe ». ' par un système informatique donné, ou par n'importe quel système informatique.
La théorie de la calculabilité vise à décrire les concepts abstraits des calculs algorithmiques, en particulier les fonctions mathématiques impliquées dans ces calculs et les opérations logiques qui les régissent. Il est également étroitement lié à la théorie de la complexité et au calcul formel. La théorie de la calculabilité peut être considérée comme une étude des limites des approches algorithmiques pour résoudre des problèmes algébriques, par opposition à l'approche algébrique abstraite traditionnelle.
Au cœur de la théorie de la calculabilité se trouve la question de savoir si une fonction mathématique, telle qu’une équation polynomiale, peut être évaluée en temps fini. Pour répondre à cette question, les théoriciens de la calculabilité utilisent des définitions de la calculabilité appelées thèse de Church-Turing, théorème de récursion ou machine universelle de Turing. Ces idées précisent ce qui peut et ne peut pas être calculé dans un système donné et peuvent servir de base pour prouver certains théorèmes sur la calculabilité.
La théorie de la calculabilité fournit également des méthodes pour construire des algorithmes qui résolvent certains problèmes de la manière la plus efficace, tels que l'algorithme de Knuth-Bendix, l'algorithme de Markov et l'algorithme de Rivest-Shamir-Adleman. Ces algorithmes sont couramment utilisés pour résoudre des problèmes de cryptographie et de programmation linéaire.
Outre ses applications théoriques, la théorie de la calculabilité a eu un impact majeur sur le développement de l’ordinateur moderne, ainsi que sur d’autres domaines de l’ingénierie et de la science. Il est utilisé dans la conception de systèmes informatiques, ainsi que dans le développement de systèmes d’intelligence artificielle et d’apprentissage automatique. Il est également utilisé dans les preuves de théorèmes des mathématiciens et dans le développement de langages de programmation.
